无理数的有理逼近及其应用（1）——两个基本定理

 

一直对这个领域挺感兴趣的，也经常遇到这方面的题目，最近打算系统的学习一下，顺带写个（可能不定期更新的）专栏对这方面做个简单介绍。

本文（及下一篇文章）主要讲解一些相关的重要定理与性质（限于篇幅，其中个别很深刻，过程很复杂的定理的证明暂且省略，日后或许会补上），至于其在各领域中的应用将放到后续的文章中讲解。

本文中, {∗}\[\left\{ {*} \right\}\]一般表示小数部分，有时也表示数列。

引言

先从一个简单的例子开始：中国古代对丢番图逼近（也就是有理逼近）上是很有贡献的，例如，何承天与祖冲之就曾分别建议用22/7（约率）与355/113（密率）来近似计算圆周率π。这两个数都是π都所谓渐近分数。355/113的下一个渐近分数为52163/16604，再下一个为103993/33102，太复杂了。因此，密率数是π极好的有理逼近。

至于逼近效果，我们熟知π≈3.1415926...而22/7≈3.142857,355/113≈3.1415929...它和π的差距大概只有十万分之一，直观看起来效果已经非常不错了。

逼近的衡量方式

有理数具备稠密性，因此对于任意一个无理数 xx，都可以找到一个（实际上也就是无数个）有理数pq\[\frac{p}{q}\]使他们充分接近，这里的充分接近是指作差后趋于零。但是在实际应用中这样的“逼近”实在过于粗糙了，因此我们常用有理数的分母（分母的幂次）来衡量逼近效果，比如能否找到无穷多个有理数pq\[\frac{p}{q}\]满足 α,Q(Q>1)\alpha ,Q\left( {Q > 1} \right) ，则存在互素的整数 p,qp,q 满足 ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 ，存在整数 x,yx,y 使得 ∀ε>0\forall \varepsilon >0 ，均存在正整数 n n 使得 θx>y\theta x>y ，则 >ε>0\[\varepsilon>0 \] 均存在整数 n,kn,k 使得 N>0N>0 均存在正整数 N">n>Nn>N及整数kk 满足 |x|>q2\[\left| x \right| > \frac{q}{2}\] ，则将 x→x±q,y→y∓p\[x \to x \pm q,y \to y \mp p\] 仍满足该方程，重复操作下去必能得到|x|≤q2\[\left| x \right| \le \frac{q}{2}\]，目前还剩下条件n>Nn>N”，我们知道狄利克雷逼近定理中的 p,qp,q 可以任意大，而且这里 q>2Nq>2N”就可以了，恰好此时还有 \frac{{2n}}{3}\]">q>2n3\[q > \frac{{2n}}{3}\] 从而