如何理解「对数」？

宫崎骏的电影《起风了》，里面的主角是一个飞机设计师，绘制图纸的时候总是手里拿了一个长条状的东西：

这是什么东西？拿来干什么用的？还得从对数说起。

1 在数轴上表示对数

1.1 数轴和加法

数轴上的数和后继的数之间是+1+1 的关系， 1=0+11=0+1 ， 2=1+12=1+1 。我们把它称为 +1+1坐标系吧。

把 +1+1 的关系变成 +2+2 ，数轴上的就全是偶数了。数轴还是那根数轴，可是坐标系变了，我们把它称为 +2+2 坐标系吧。

+2+2 坐标系中，上面的蓝色的字表示真实的数值，下面的灰色的数字表示顺序，也就是说序号为0的数值是0，序号为1的数值是2，序号为2的数值是4。 +1+1坐标系也有序号和数值，只是刚好都相等。

从 +1+1 坐标系到 +2+2 坐标系有什么变化？只是简单的放大了一下数轴的尺度。

1.2 数轴和乘法

我们试试把加法数轴变为乘法数轴（这点是没有什么问题的，加法和乘法等价的，即乘法完全可以被加法替代），当然要从1开始计算，因为从0开始的话，乘法的结果永远是0。

这种数轴我把它称为 ×2\times 2 坐标系。

1.3 数轴和对数

×2\times 2 坐标系其实和对数有关，我们看下：

灰色的数字就是对数了，稍微修改下看得更清楚：

按照现在的术语， ×2\times 2 坐标系其实就是指数坐标系。但是，在刚出现的时候，其实 ×2\times 2 坐标系和 +2+2坐标系没啥区别，所以当时的人也没有区别对待，更没有给出指数这个名字。

数学家其实是很吝啬的，没有那么容易就给出命名，必须得有充分的理由。可以参看下 虚数是否真实存在 中的一些思考。

说回来，8的对数就是距离1有几个格子，这里是3个格子，可以推出8的对数是3。所以有种简单的计算8的对数方法，((8/2)/2)/2=1((8/2)/2)/2=1 ，除了3次，对数就是3。

lg2=0.5lg\sqrt{2}=0.5 ，所以 42=22.54\sqrt{2}=2^{2.5} ：

也可以这么计算，有(42/2)/2=2(4\sqrt{2}/2)/2=\sqrt{2} ，除不尽有个余项，而 lg2=0.5lg\sqrt{2}=0.5 ，所以可以求出 42=22.54\sqrt{2}=2^{2.5} 。呃，似乎运算已经比较复杂了，不如用计算器了。

求两个数之间的关系也比较简单，比如8和4，4距离1两个格子，8距离1三个格子，所以823=48^\frac {2}{3}=4 。

2 对数数轴与天文数字

2.1 对数数轴

我们要是想把为 ×2\times 2 坐标系继续画下去是困难的，因为指数增长太快了：

尽量缩小才画到对数为5的地方，我相信你已经快看不清了，如果画到对数为100的地方，地球都摆不下这个长度。

我们可以保持对数值等距离摆放，这就是对数坐标系：

是不是可以摆下更多的对数了？

2.2 天文数字

对数是将数轴进行强力的缩放，再大的数字都经不起对数缩放，如果我选用10为底的话，一亿这么大的数字，在对数数轴上也不过是8。这对于天文学里的天文数字简直是强有力的武器。

要是不进行缩放的话，地球和太阳是不可能同框的：

此处有可以操作的内容，需要流量较大，请斟酌打开。

3 对数尺

3.1 乘除法

我们把对数坐标系中剩余的数字补齐：

其实绕了这么一大圈，就是把对数值给摆在了数轴上，不过历史可能就是这么曲折，要知道历史发展到这一步都还没有给对数一个名分。什么时候给的名分我们后面再说。

因为 log2log_2符号太累赘了，所以我们把它去掉，心中知道是log2log_2 就好了：

我们把这个刻在一把木尺上就得到了一把对数尺：

对数尺有什么用？我们可以很简单的来计算乘法，下面是计算 2×3=62\times 3=6(记住，对数尺的起点是1，不是0)：

loglog 有一个很重要的特性， log(xy)=log(x)+log(y)log(xy)=log(x)+log(y)，所以对数尺可以用加法的方式来计算乘法(在这里以什么为底不重要，只要是同底就可以）。而logxy=logx−logylog\frac{x}{y}=logx-logy ，所以可以通过减法计算除法。

如果对数尺上的坐标可以标细一点，就可以计算类似 2.15×3.7822.15\times 3.782 这样比较复杂的乘法。

3.2 幂与开方

对数尺还可以进行幂运算和开方运算，下面计算 9=3\sqrt9=3 ：

logx12=12log(x)logx^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}log(x) ，所以对数的 12\frac{1}{2} 处就是对数的平方根，以此类推可以计算 nn 次方根。注意对数尺的起点是1哦，不是0。

计算 93\sqrt[3]9也一样轻松(这里尺子的刻度不太细，不过估读出来是2.0x):

3.3 亲自动手

我们自己来把玩下对数尺吧：

此处有可以操作的内容，需要流量较大，请斟酌打开。

3.4 对数和对数尺的重要性

16世纪，苏格兰人纳皮尔，用类似上面文章描述的思路（细节很不一样，不过方向是相同的），发明了对数这个词，他把对数称为人造数。而当时还没有完整的指数概念，直到17世纪末人们才认识到对数是指数的逆运算。

对数发明之后，在当时的科学界造成了很大的影响，专门有人长途跋涉跑来见纳皮尔，就为了表达感谢。天文学家欣喜若狂：“对数让计算时间缩短从而延长天文学家的寿命”。伽利略也说过：“给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙”。

刚开始对数的运算是通过查对数表来完成，后来，更方便的对数尺也出现了，这就是最早的计算尺。

3.5 计算尺

最早的计算尺就是对数尺，随着时间的推移，对数尺增加了很多别的数学工具，演化成了威力更大的计算尺。上面除了有对数、还有三角函数、倒数等等数学工具，可以查看 计算尺，或者 三百年辉煌，计算尺传奇 了解更详细的信息。

文章开头《起风了》的主角手里拿的就是计算尺：

在计算器发明之前，炮兵打个炮啊、工程师修个桥啊、设计师造个飞机啊，都离不开计算尺。

没有计算尺之前，人类社会是匍匐前进，有了计算尺之后，是走步前进。而计算器、计算机出现之后，真正是跑步前进。

历史的车轮总是向前，计算尺的历史使命已经完成，这篇小文只是尝试让大家短暂的回到过去，体验一下对数、对数尺、计算尺的重要性。

4 结论

对数是作为一个数学工具出现，主要解决两方面的问题：

这两个作用，让对数这个数学工具与 +1+1 , +2+2 产生了本质区别，也有了拥有“对数”这个名字的资格。

参考文章： 观《起风了》 探究计算尺 。

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