实数理论（实闭域RCF理论）为什么不能定义自然数？

提出这个问题的动机是因为看到Tarski的欧氏几何体系不能定义自然数，可是感觉欧氏几何明明可以做算术运算的呀。现在看来这个问题应该要视乎语言的表达能力expressive power而定，要分清一阶definable和二阶definable，元理论metatheory等概念参见Enderton的数理逻辑第二章Corollary22E，Wikipedia definable real numbers。

这个回答 数分教材实数理论 说“先利用公理化将实数定义为完备有序域，然后将自然数定义为包含乘法幺元的最小归纳集——正如卓里奇《数学分析》（第一卷）第二章§1、§2小节所做的那样”。卓里奇这样做确实能定义自然数，但引入了集合的概念，要定义最小归纳集得引入一些集合论的公理才行。如此一来，卓里奇的实数理论强于Tarski的RCF, 也强于PA, 卓里奇的实数理论incomplete。哥德尔不完全定理说，一个一致的不蕴涵PA的形式系统必然incomplete；正因为一阶RCF不蕴涵PA不能定义自然数，一阶RCF才可以complete，并不违反哥德尔不完全定理，参见wiki Euclidean geometry词条Euclidean geometry is a model of real closed fields，Franzén, Torkel (2005). Gödels Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. AK Peters.ISBN1-56881-238-8. pp. 25–26。

张清宇《逻辑哲学九章》二阶逻辑这一章说了，“二阶实分析的任一个模型中的全体自然数直接就是一个可定义的极小闭包，并且可以证明它满足二阶算术的全部公理。”这是在说，用二阶实分析理论能定义出自然数，即二阶实分析理论强于PA算术，因而根据哥德尔不完全定理，二阶实分析理论incomplete。当然张清宇也说了。一阶实分析理论中，尽管（实数中所有自然数形成的集合，这个集合的存在由元理论中的集合论公理保证）同构于PA理论的自然数模型，但实数中所有自然数形成的集合不是（在一阶实分析中）一阶可定义的，因而一阶实分析理论可以complete。

Marker 模型论Model Theory: an introduction （或GTM217第3章第3节）是证明了从一阶实数理论中不能定义自然数，参见实数定义了复数。Marker书里的一阶实数理论当然complete。

类似地，Wikipedia Peano axioms 词条说一阶PA中不能定义自然数的加法，需要把加法的性质作为公理加入PA中作为扩充。可是，数学家从来都是通过递归定义引进自然数的加法 如 董延闿 数系 这本书。为什么wiki说加法不可定义，而数学家却成功定义了加法了呢？原因在于数学家采用的算术理论是二阶版本的（实际上，数学家并不关心究竟是一阶的还是二阶），在二阶版本中是可以定义自然数的加法的参见second-order-logic命题2.3。

说到底，有此困惑，是数学语言和形式语言, 元理论和形式化理论之间的微妙差别在作怪。

回到本文的开头，我们知道Tarski的欧氏几何和他的RCF是等价的公理体系，我们上面关于RCF的所有讨论都适用于Tarski版本的欧氏几何。（欧氏几何和实数理论之间的关系很有意思，它们的关系正是解析几何的依据。实际上戴德金的实数构造正是借鉴了Eudoxus的几何量的比例论，详情参见问题描述中的几个链接）。

补：实数的阿基米德性公理是二阶句子，因为exist N, 这里的N是自然数集是不可一阶定义的，所以一阶语言写不出原汁原味的阿公理。

其他refs:

stackexchange Why are addition and multiplication included in the signature of first-order Peano arithmetic?

知乎 为什么自然数和实数只有一个二阶模型？