凸集(convex set)和仿射集(affine set)，谁是谁的子集？

首先，我必须得指出一件事：这题虽然放在拓扑的语境中，但是从拓扑学的角度回答是偏题的。这个题本质上是一个逻辑问题，或者语言问题，而稍微带点一般集合论的东西在里面，和具体的拓扑学概念并无关系。这里的“凸集”“仿射集”完全可以换成和拓扑学无关的另外一对集合论概念——只要在这对概念上能构建一个良定义的“包”，即包含某一集合作为子集且符合这一概念条件的唯一最小集合——而题主的这个问题仍然会出现。

然后，梳理一下题主提出的三个思路：

可以看出，这三个思路都在各自的意义上成立，而且互不矛盾。顺便，为了验证我一开始提出的观点，接下来我用“序数”“基数”代替“凸集”“仿射集”（一个序数集的“序数包”和“基数包”定义为以这个序数集为子集的唯一最小序数和唯一最小基数，不难证明这和序数集的上确界类似，是良定义的），并且调整一下其他一些概念以避免定义的冲突，来重述一遍这三个思路：

所以题主根本的问题在于说“某类集合是某类集合的子集”的时候，没有搞明白这里的“某类集合”到底是说“判定一个集合是否某类集合的条件”，是说“所有某类集合组成的类（这个类自己可能是个集合，也可能不是）”，还是说“一个具体集合的某类包”。这里就体现了自然语言的模糊性；因为这个模糊性的存在，“某类集合是某类集合的子集”就比“某个集合是某个集合的子集”模糊得多得多了。

细细分析的话，1和2的区别就是逻辑学上所谓内涵和外延的区别——“判定一个物件是否某类物件的条件”就是所谓“‘某类物件’这一概念的含义”，也就是内涵（intension）；“所有某类物件组成的类”则是外延（extension）。这是一对对偶的概念——如果A类物件的内涵是B类物件的内涵的子集，那么B类物件的外延就必是A类物件的外延的子集，反之亦然。所以，思路1和思路2不仅是“不互相矛盾”而已，它们是互为充要的。

而2和3的区别则“狭窄”一点，只有在这“某类物件”是“某类集合”的时候才有这个区别存在；这里混淆的或许可以说是“具体的某个很小的某类集合”和“所有这类集合又形成了的那个集合（或者真类）”。不过只要我们这里说的这“某类集合”上有良定义的“包”，3就是可以联系到1的——某个集合的A类包是B类包的子集说明这A类包虽然具备了足够多的元素来满足A类条件，却还不具备足够多的元素来满足B类条件，也就是说A类条件是B类条件的子集，就和1是一样的了。（最开始说某类集合上有良定义的“包”，实际上就是说“对一个不满足这类集合条件的集合适当地加入一些元素，总可以变成满足这类集合条件的集合”——否则“虽然具备了足够多的元素来满足A类条件，却还不具备足够多的元素来满足B类条件”这句话就不能说了，因为不满足B类条件就未必是因为元素“太少”了。）

不过我还是怀疑题主说的这个老师一开始想说的是3，但是却按照论证1的方式论证了。