数学里的 e 为什么叫做自然底数？是不是自然界里什么东西恰好是 e？

作者：SaBoLi MONTAGE

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著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

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原因很简单，因为e和自然数0,1,2……一样自然。

e的故事 上

第一章 神秘的自然

1

可以说，数学整个学科都是人为创造出来，被用来了解自然和了解人类本身的。

由于人类有可数的十根手指，于是我们用了十进制。不过如果有一个外星人有四根手指呢？他们是不是就使用四进制呢？

如果外星人是有无法数清的触手的触手怪呢？

所以数学的很多分支都是为了了解人类本身被研究的，它不自然。

自然的事物中，其中的一种是世界上正在发生的一切。

2

为了研究世界上正在发生的一切，人类在数学之外又创造了物理、化学、生物等等学科，它们被称作“自然科学”。显然在这些课本中，数字到底是十进制还是四进制并无大碍，人类正在脱离了解人类本身这一范畴，开始了解自然。

尽管人类对自然的了解不是一帆风顺的，但人类自诞生起就开始思索自然的终极奥义。

一直研究到现在。

人类对世界的最深层次的疑惑，在诞生之日就一直是是：

在下一个时刻会发生什么？

自然，有没有什么规律可循？

这一疑惑贯穿了人类的全部历史，引发了各种哲学的思索，在此不深入研究。

然而和这个问题相伴相生的情况下，人类发现：

尽管自己能够对一些东西做出改变，但是对另一些东西却无能为力。

如果你推一个东西，这个东西就会动。如果愚公愿意，他可以和他的子子孙孙无数代一起把太行山和王屋山搬走。

但是愚公会死，他的子子孙孙都会死。

时间，事物的变化，或许真的如同某些神谕一样，是上天安排的。

4

在人类对这两种变化感到深深地迷茫的时候，人类的数学却在纠结着十进制和四进制的事情，把毕达哥拉斯以后的近两千年的时间让位给了宗教。

然而人类不可能彻底把对自然的理解交给神。数学将以一种最新的形态回到我们对自然的理解中。

跟着新的数学而来的，还有物理，化学，生物等等自然科学。

是的，不管你如何讨厌它，没有它，或许现在的世界依然没有走出教会的中世纪，我们对世界的了解，依然是所谓的神谕。

5

了解世界的过程中，我们倾向于研究可测量的量。

然而在神学统治世界的两千年中，变化的特别要素，时间，只能以日晷上的小时来测量。

或许是哪位在封建主的领地里放羊的小孩，在路过潺潺的山泉的时候的发现吧。

那些一滴一滴，时间间隔相同的缓缓滴落的水滴，敲响了万能神的丧钟。

人类通过这些等时滴落的水滴，意识到：

身边一直正在发生的 所谓变化，是可以测量的。

6

铅球从比萨斜塔的五楼落下，用了六滴水的时间。

而从二楼落下，也要用三滴水的时间。

这是人类对那一种“自己能够掌握”的变化的初步研究。

也正是在这一次研究中，人类知道了：

我们身边的一切事物的特征，除以无时无刻不在流逝的时间，不就是他们的变化吗。

7

在自然数、几何之后，数学跑偏两千年之久。

而在这个我们开始把时间称作“滴答滴答地流逝”的文艺复兴的时代，自然数学盛装归来。

和很多人的认识不同，这门新的数学是比代数自然得多的学科。

因为它研究的，就是两千年来被神掌握的“变化的规律”。

这一自然规律，由于时间的测量技术变得可测量。

也正是这门科学，打破了人类对自然认识的最后一道，也是最难被逾越的一道障碍。

相信不用我说，大家都知道，所谓自然数学有一个更响亮的名字，叫做微积分。

8

人们知道，时间是无时无刻不在流逝的，相应的变化也无时无刻不在发生。

对于变化的研究，先从最容易测量的物体的位置开始。

因为我们已经通过对变化的理解，定义了速度和加速度。

就在水滴旁的男孩将铅球一次又一次从比萨斜塔上扔下去的时候，他惊讶地找到了一个不变量：

地球给铁球的加速度。

9

后来，人们发现了所有的位置变化速度的变化，都是人类可以通过自己的力量施加给自然的东西。

此时，人类对自己能够改变的未来，已经有了初步的理解。

不过人类并不甘心，因为为什么还有不可掌握的未来存在？

第二章 物理学家和生物学家

10

一杯热水什么时候冷掉？

大火什么时候熄灭？

植物什么时候长成？

动物什么时候繁衍？

很多问题，人类最多只能改变进程，不能改变结果。

后来，人们发现：

热水自然会冷掉。

大火自然会熄灭。

植物自然会长成。

动物自然会繁衍。

这里的“自然”，

就是自然本身赋予事物的有关变化属性。

11

力，称为人类改变外界的媒介的东西，是事物随着外界环境变化的一种属性。

我们可以表示为：

A物体速度的变化=外界的力

而外界的力和A物体速度无关。

然而热水的冷却不一样。

经过测量，我们发现：

热水冷却的速度只和热水与环境的温度差正比例相关。

于是我们得到了：

热水温度的变化=确定数量×（热水温度-环境温度）

这是自然本身赋予热水的变化属性。

与外界无关。

12

于是通过上面热水的例子，我们把自然本身赋予事物的有关变化属性抽象一下，总能得到一个等式。

那就是：

A的变化=A本身的某种性质

当然，最简单的情况当然是：

A的变化=A的数量×确定数量。

为了研究这个简单的问题，人类又把目光放在了自然界。

13

这时自然研究者已经分成了两队，一队前往大自然寻求这个问题答案，只因为他们知道：

自然界很多生物的性质，决定了他们的生活、习性，当然包括了变化。

一堆前往实验室寻求这个问题的答案，只因为他们已经在实验室中找到了几个符合这个问题描述的变化。

我们叫第一种人生物学家，第二种人物理学家。

不过，他们的目标是一样的。

那是因为，他们都知道：

热水自然会冷掉。

大火自然会熄灭。

植物自然会长成。

动物自然会繁衍。

14

怀着对自然的敬畏，他们上路了。

我们先讲生物学家的故事，因为他们很久以前就发现了一些规律。

一对兔子一年生一窝，一年10对兔子存活，t年后一共有多少兔子？

这是一个连小学五年级的学生都会得算数，答案是10的t次方。生物学家在看到

A的变化=A的数量×确定数量

的时候，一下就想到了这个题目。

可以看到，t这个数字，在计算的结果中跑到了10的指数的位置上。

一声叹息。生物学家知道，这个老掉牙的题目在几千年前，人类就已经知道答案了。

如果人类在当时就有所思考，也就没有所谓的黑暗的中世纪了吧。

但是生物学家知道这并不是问题的答案。

因为，兔子的数量是每年变化一次的，而自然，则要求时间无时无刻不在流逝。

思忖良久，生物学家将“指数”两个字记在本子上，开始寻找更多的证据。

15.

此时物理学家正在对着自己误差巨大的数据发愁。

尽管已经能精确地测出距离和时间，但对于温度的测量还是一筹莫展。

虽然知道最终的正确数值是一条弧线，但他还要用已知的变化关系去和这一关系对照。

如果能够得到热水冷却的这一条弧线，一切的问题都能迎刃而解吧。

此时，物理学家脑中蹦出一种想法。

推动冷却的会不会是一种力呢？

可不可以用变化率、变化率的变化率等等来表示呢？

即使它不是一种变化率的叠加，那可不可以用这种变化率来近似呢？

16.

生物学家找到了更多比兔子繁衍更快的物种。

蘑菇、酵母、细菌……

到了最后，甚至找到了几秒就能复制一次的病毒。

他的笔记中，底数在不断地改变，但是t在指数的位置却没有改变。

有一天，在睡梦中，他突然梦见了什么。

他猛然惊醒，打开床头柜，开始计算了起来。

A病毒的性质如果是1分钟分裂成2倍，那它5秒钟分裂成多少倍？

1秒钟呢？

那么它到底具有怎样的分裂性质呢？

算到最后，他列出了一个算式。

如果它有1分钟分裂成2倍的性质，

那么当它分裂成1.10倍的时候，过1分钟应该分裂成2.20倍。

分裂成1.20倍的时候，过1分钟又应该分裂成2.40倍。

所以最后的结果，和2倍肯定会有很大的偏差。

经过计算之后，生物学家困意已消，他抹去了头上的汗水。

天空泛起了鱼肚白，而这个世界已然没有睡意。

他的草稿本的最后一行是：

自然的底数：limx→+∞ (1+1/x)^x

17

物理学家研制了越来越精确的仪器和设备。

他知道，所谓推动上一层的“力”，也就是变化率是常数罢了，而表现在公式中，则是要多乘上一个时间和时间的系数。

最终的结果，自然是一堆有关时间t的幂的集合。

有一次物理学家突发奇想，于是控制变量之后，物理学家把确定数量值变为了1，把环境变为了0度。也就是说现在热水温度的变化率变成了它自己。他坚信这样可以更方便地测出真正的规律。

此时物理学家突然意识到了什么。

我们都知道，如果位置变化是t的2次方，那么它的变化率也就是速度就是2t，变化率的变化率就是2。

那么如果位置变化是t的7次方呢？

那位置的7重变化率就是1×2×3×4×5×6×7。

那么由于这一变化由无数的“变化率的变化率”组成，显然这些“力的推动力”的变化率，是“被这些力推动的力”的整数倍。

而又由于热水温度的变化率是它自己，所以每个力都和被它推动的力有确定的倍数关系！

物理学家飞速地列出了最终唯一的关系式，并且当他做完实验的时候，结果竟然和关系式完全符合！

他笑了，因为他的努力终究有了成果。

他的之上留下了一行算式：

自然公式取1的值T(1)=1+1+1/2+1/(2×3)+1/(2×3×4)+1/(2×3×4×5)……

18

物理学家和生物学家相聚了。

“我已经找到将不可掌握的未来，用自然的公式表达出来了。”

“我也是。”

“自然的公式是指数。”

“不，自然的公式是幂的和。”

物理学家的黑板上写着Σx=0 +∞(t^x)/x!

而生物学家的黑板上则写着limx→+∞ (1+1/x)^xt

两人相视而笑。

是的，自然的公式只有一个，两个公式事实上完全等同。

19

给它命个名吧，

“我建议用e^x，因为这是一个显然的指数函数。”生物学家说。

“听我说，我建议用exp(x)，来表示它的自然和连续性。”物理学家说。

两人离开，留下了两块被拼在一起的黑板。

物理学家那边，写着：

exp(1)=Σx=0 +∞1/x!≈2.71828

生物学家那边，写着：

e=limx→+∞ (1+1/x)^x≈2.71828

而拼起来的黑板，则组成了：

dy/dx=y的方程。

20 尾声

上面的内容，对科学史有点了解的人都应该知道，全都是我杜撰的。

e的存在和数值，数学家早已在物理学家和生物学家之前给出了答案。

不过无论如何，人类终于迈出了认识未知自然的一步。

从此，即便是自然本身的规律，也已经被人类了然于心。

不过，正当人类自认为已经穷尽自然的真理的时候，发生了另一件大事。

这又是一个观星人和一个工匠的故事了。

e的故事 下

第三章 路径和车轮

21

上面我们说的是一个少数人的故事。

然而，不可能所有的人类都去思考什么是自然，因为在工业革命之前，大多数人类是一种和其他动物一样，在死亡和温饱线上挣扎的动物。

尽管这些人可能已经不包括我们，不过当我们还没有抛弃我们的形状的时候，我们还是要问自己一句：

下一顿饭从哪来？

22

形状，位置，距离，大小。

或许在开创数学这门学科以来，我们的本能中就已经有了几何的元素了。

或许在你受到数学教育之前，就能指出平行和垂直两种关系是比其他所有关系都特殊的；

或许在没有识字的婴儿时代，高度对称的图形就能吸引到你更多的关注。

或许和人类的诞生同时，我们已经把一条直线和一个圆刻在了脑子里。

23

所以尽管我们已经脱离了温饱线，但对于很少站在高处思考自然的人而言，我们是在生活中拼搏挣扎的人。

在这个方面，我们和以前那些在温饱线上的人没有什么区别。

直线，被人类绘制成路径，代表着最短的距离；

而圆，被人类加工成车轮，则代表着最节省的人力。

显然这才是人类对自然的第一认知。

那么人类有关的第一个问题就来了。

车轮要滚一圈能在道路上滚多远？

24

这根本就不是一个需要计算的问题，碾过去就是了。

不过，当人类发现轮子在滚完之后不一定能回到原来的状态的时候，事情好像在起变化。

我们的祖先数着自己的手指，把轮子的高度分成十份，

发现依然有偏差的时候把有偏差的那部分高度又分成了十份。

然后一对比，记下了三倍又十分之一倍又百分之四倍这一个数据。

于是我们把它称作圆周率。

25

如果你指望着我把故事讲下去，那你就错了。

因为车轮和道路的故事已经结束了。

一直到“时间滴答滴答地流逝”的那个时代，这个故事只有几个进展：

A.阿某某某觉得这个数据不准，又用手指分成10份，多加了一位比率。

B.刘某还是觉得这个数据不准，又用手指，并且借助各种仪器分成10份，多加了一位比率。

C.祖某某觉得这个数据不准，又用手指和各种更花式的仪器分成1000份，多加了三位比率。

D.卡某觉得这个数据不准……

26

并不是那些寻找自然的人不忘这个看起来自然到爆表的比率上寻找答案。

因为无论对如何用直线和圆进行组合，计算任何由圆和直线组成的图形和物体的数据，这个比率永远存在于圆弧之上。

比如说，直径和圆周的比率是圆周率，那么在提到面积的时候呢？

答案是半径平方再乘圆周率，而并没有出现圆周率的平方。

那么球体的体积呢？

圆周率依然单独在公式中出现，没有出现圆周率的立方。

或许这个值是3.14，3.142还是3.1415927，对于人类了解自然并不那么重要。

与其说这个比率如同梦魇一般永远留在圆弧中，倒不如说它像是一个被封印的魔鬼，所有人都知道它的存在，也绝对明白它目前看来不可能踏出圆弧半步。

包括物理学家和生物学家在内的人，都倾向于把这个数据，永久地在人类踏出了解自然的第一步的纪念碑上。

27

然而此时，他们不知道的是，和他们不同，底层的人根本并没有迈出了解自然的第二步。

他们和两千年前一样，奔波在生死之间。

和他们相伴的，只有直线和圆。

圆周率对于平民的意义，不用说，大家也明白。

直到现在，我们的主流世界观里，依然存留着这个人类几千年艰辛走来的痕迹：

完美、无瑕、对称，这是我们对圆至高无上的崇拜。

28

或许如同黑暗的中世纪那样，低贱的平民永远都无法跨过贵族的门槛吧。

圆周率右面的车轮，看似封闭，却一直在旋转。

历史的车轮滚滚碾过，碾过的是无数为了生计而挣扎的人的心酸。

不过这个时候，一门盛装归来的数学走到了低贱的平民身边。

它号称能够揭开两千年来被神掌握的“变化的规律”。

不用我说，大家都知道，它的名字叫做微积分。

29

微积分解决了平民的疑惑吗？

看着物理学家和生物学家留下的黑板，即使是最聪明的平民也会一脸茫然吧。

而最粗鄙的平民，一定会骂道：

“XXX，这XX的道理，值几个X钱？”

不过他们不知道：

历史的车轮在碾过这个世界的一切的时候，却无时无刻不被自然碾过。

抱歉，昨天沉迷学习了。。。

第四章 观星人和工匠

30

和主动去找自然规律的那些上层人士不同。

观星人和工匠，是被迫去寻找自然规律的。

对于观星人来说，天空中的星辰在运动一年之后回到原来的位置，月亮则要一个月，而太阳只要一天。

这一职业，只会比最早的立法更加古老。

他们的工作，就是在地平线上，寻找圆形的轨迹。

而工匠更不必说——只要有前面提及的圆和直线，就会有工匠的身影。

31

在这个变革的年代，观星人找到了几千年来自己画出的星图。

星星，月亮，太阳。

那一道道漂亮的圆弧，貌似在诉说着什么故事。

或许自然就是这样吧。

观星人此时惊讶地发现了一件事情。

或许圆弧里的秘密，已经在第一章第8节给出了提示：

“就在水滴旁的男孩将铅球一次又一次从比萨斜塔上扔下去的时候，他惊讶地找到了一个不变量：

地球给铁球的加速度。”

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在这个变革的时代，工匠找来了几千年来自己做的物件。

其中有一个小小的物件，引起了他的注意。

这个物件很简单，仅仅是一条由牛筋粗加工制成的条状物而已。

原因无他，弹性而已。

被压缩时重新伸长，被伸长时再次压缩。

有了这个，才有了动物体的柔韧。

或许自然就是这样的吧。

工匠此时惊讶地发现了一件事情。

将重物挂在牛筋下段，牛筋会不停上下振动，直至停止。

33

在星空中，观星人发现了转动。

而在牛筋里，工匠则看到了振动。

一个是循环不息，一个是摇摆不止。

一个是周而复始，一个是去而复回。

一个是圆，一个是直线。

在工匠和观星人再一次见面的时候，他们隐约意识到：

这两种运动的联系，

或许就是圆和直线超越圆周率的一种联系？

又或许，是人类和自然的一种联系？

34

问题的解决一帆风顺，因为根本不需要去解决。

尽管在过去的两千年内，上层的社会沉浸在神学中， 不过挣扎在死亡线上的平民，却能够制作出很多他们自己也不理解但是却非常管用的东西。

通过水磨，他们知道转圈是一种向心的运动，速度不变，离心的趋向就不变；

通过弹簧，他们知道所有的弹性都和弹性物体变化的幅度相关。

工匠笑了，他在观星人的星图中画了一条线。观星人发现，在这条线的视角看，星辰的旋转和振动一模一样。

于是观星人也笑了，他抄起皮筋甩了起来。工匠发现，在观星人旋转速度不变的时候，皮筋的长度是完全没有变化的。

35

于是，下一个关系简直是一瞬间得到的：

皮筋，不管在旋转还是在振动，它对物体的力和它偏离原长的距离方向相反，但是大小正相关。

工匠点了点头，在星图上写下了F=-kx

观星人也点了点头，在星图上写下了x=-kx

36

在彻底解决这个问题之前，两人决定还是先研究一下这个图形。

根据前面对振动的讨论，两人觉得是时候把“圆周率”这个值赶下神坛了。

观星人决定把星辰旋转的弧度在皮筋上对应的坐标标记下来。显然地由于所有的圆长相都一样，所以旋转弧度和皮筋坐标的比是完全一样的。

“就叫这个比cos(x)吧。”观星人说。

“等一下！”工匠惊呼。

他惊讶地发现，当x是圆周率的整数倍的时候，cos(x)居然是一些特殊的有理值。

特别地，当x除以圆周率的小数部分是0.5的时候，cos(x)是0。

当x是奇数倍圆周率的时候，cos(x)是-1。

当x是偶数数倍圆周率的时候，cos(x)则是1。

“没错，这个弧度，就是你们常用的角度的一种说法。

而cos这个函数，就是你们常用的余弦的表达方式罢了。”

37

不过弧度对于角度而言，特殊性已经不言而喻。

力和偏离距离方向相反，大小正比，这就意味着：

偏离距离的变化率的变化率=-（确定数值×偏离距离）

而当我们把确定数值调成0的时候，如果物体在偏离距离为1的位置从静止释放，物体的偏离距离就永远是偏离距离的cos值。

是不是觉得这个公式很眼熟？

自然的身影，在人类并未去寻找的时候，在人类仅为了自己而奔波的时候。

已经来到了人类的身边。

38

直到这时，圆周率这个数，已经如同梦魇一般，刻在了cos这个关系里。

虽然两人不关心什么自然，但是他们非常，非常想知道，困扰自己几千年的圆周率到底是个什么东西。

他们先知道了这个答案的解，却不知道这个解从何而来。

“是时候解决这个问题了。”

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突然想起还有这个第五章没更新。。。

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e的故事 终章 幻想的自然

39

cos这个函数的关系式使我们顺利地把圆周率这一数值从无可辩驳的位置拉到了一个函数关系中。

而这一函数关系，又是一个很简单的方程：

A变化率的变化率=-A

然而cos是什么？

对于圆周率的最终研究，将由物理学家和生物学家共同完成。

因为他们敏锐地发现，而在这一项研究中，真正的自然，正在向他们招手。

40

物理学家仍然坚信cos是幂函数的和。

和上次一样，这次他准备继续通过测量来证明这一点。

他向观星人借了望远镜，每夜，他的之上都多了一个点。

每过去一年，他的幂函数就会多一项。

终于有一天，他笑了。他觉得，他已经掌握了自然的规律。

纸上出现了一个算式：

cos(x)=1-x^2/*(1×2)+x^4/(1×2×3×4)-……

他非常欣慰地看着自己的算式。

公式里的每一项，经过两次的求变化率计算，都会成为它的前一项，而第一项则自动消失。

而由于这个和无限延伸没有最后一项，所以总能达成：

A变化率的变化率=-A

41

生物学家这里的进展就有点麻烦了。

因为他根据上次的经验，依然断定cos是一种指数函数。

换句话说，他坚信所有的变化率仅本身相关的函数，都是自然的指数函数。

上次他知道，如果变化率是本身的k倍，那么它在t时刻的值就应该是e^kt。

那么如果变化率的变化率是本身的k^2倍呢？那么如果在开始并没有变化，它在t时刻的值就应该是e^kt。

不过，在这个项目里，变化率的变化率，却是本身的-1倍。

-1，是不能等于k^2的。

42

这天，生物学家来到了一个桃花源般的农村。

或许环境看起来很落后吧，村里最气派的建筑是学校的三层教学楼。

生物学家从教室走过。

“老师，为什么负数不能开平方呢？”

“因为不管正数还是负数，它乘上自己都是一个正数，而0乘自己是零。”

“那有没有不是正数也不是负数也不是零的数呢？”

教室里开始骚动，已经有人嘲笑这个同学了。

而此时，生物学家停下了脚步。

“没有这样的数。”

“老师，这样的数肯定有的，我们没发现而已。”

教室里哄堂大笑。

43.

“这样的数肯定有的，我们没发现而已。”

在之前那块黑板上，面对着物理学家的质疑，生物学家斩钉截铁地说。

相比于物理学家的那一长串，生物学家只有一个分式：

cos(x)=(e^ix+e^-ix)/2

还有一个解释：

i^2=-1

“朋友，我们应该用科学的方式来解决这个问题，而不是幻想的方式。”物理学家不满地说。

“没错。”生物学家说，“但是如果你把这个值带入你求到的exp和cos的公式试试看呢？”

物理学家耸了耸肩。

计算完毕之后，他的表情惊讶地无以复加。

所有虚拟的i在计算完毕之后全部消失，也就是说，只要知道cos和exp的任何一个，通过这个虚拟的i，都可以得到另一个中不含i的关系式！

“朋友，i他虽然不真实。”

“但它很自然。”

44 故事的结尾

在这块叫做数学的黑板上。

无数潦草的、工整的字迹，一步一步地将人类和自然拉进。

终于，最后一个算式，彻底毁灭了所谓超自然的神，对人类的最后一点控制。

那是一个幼稚的字迹，甚至有一种爬虫的感觉。

他的未来，可能是一名头戴礼帽，举止优雅的绅士，也可能是一位面朝黄土，为自己的未来耕耘的农民。

就和算式里的那个平方为负数一样的值充满着想象力，又和算式里其他的那些值一样富含着人类伟大的智慧和自然对我们的教诲。

所有看到这个算式的人，无不匍匐在自然的足下。

世界自此走向光明。

是时候揭示这个算式是什么了。

这时黑板最醒目的地方，赫然写着：

e^iπ+1=0

感谢大家的兹磁！~